ریاضیات شیرین است
مباحث ریاضی

رياضيات ابزار تسلط بر طبيعت

گفتگوی جام جم با دکتر علیرضا مدقالچی،چهره ماندگار ریاضی


جام جم آنلاين: تمام لذت رياضي، لحظه آخر آن است كه بتوان مساله سختي را حل كرد. در اين زمان است كه شيريني و لذت حل اين مساله با هيچ چيز ديگري قابل مقايسه نيست، اما گاهي اوقات ديده شده كه شهد شيرين حل اين مسائل براي بسياري از افراد شرنگ شده باشد.


براستي علت آن چيست؟ چرا بسياري از افراد حتي از اسم رياضي هم واهمه دارند و هنگام امتحان از آن غول بي‌شاخ و دمي مي‌سازند.

دانستن پاسخ اين سوال و خيلي از سوال‌هاي ديگر مربوط به رياضي و پي‌بردن به چالش‌‌‌ها و مسائل روز علم رياضي، بهانه‌اي شد تا در آستانه فرا رسيدن روز ملي رياضيات با دكتر عليرضا مدقالچي چهره ماندگار رياضيات سال 89، استاد دانشكده علوم رياضي و كامپيوتر دانشگاه خوارزمي و رييس انجمن رياضي ايران كه سال‌ها به امر تحقيق، نشر علم رياضي و پرورش شاگردان زيادي پرداخته است، گفت‌وگويي داشته باشيم.



ادامه مطلب...
ارسال در تاريخ دوشنبه 8 خرداد1391 توسط محمدرضا مرتهب

ریاضیات اروپایی در قرون وسطی

 


(الف) قرن ششم تا قرن یازدهم:

در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوری رم در اواسط قرن پنجم شروع شد و تا قرن یازدهم ادامه یافت، تقریباْ کار خاصی در علم به طور عام و در ریاضیات به طور خاص انجام نشد. از ریاضیدانان این دوران، معمولاْ از چهار نفر نام می برند که عبارتند از: بوئتیوس، بید، آلکوین و پاپ سیلوستر دوم نام می برند. این چهار نفر با تالیف کتب ریاضی - که معمولاْ بسیار ضعیف بودند - و تدریس آنها، در تاریخ ریاضیات این دوران بسزایی ایفا کردند. جالب است بدانیم  که پاپ سیلوستر دوم در مدارس مسلمانان اسپانیا درس خوانده بود.
(ب) قرن دوازدهم:

 از اوایل قرن دوازدهم میلادی، آثار یونانی و اسلامی به اروپای غربی انتقال یافت و این قرن در تاریخ ریاضیات، به قرن مترجمین بدل شد. اصول اقلیدس، المجسطی بطلمیوس و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شدند و دستگاه شمار هندی-عربی در اروپای غربی رواج یافت.
(ج) قرن سیزدهم و چهاردهم:

معمولاْ از «لئوناردو فیبوناتچی» به عنوان با استعدادترین ریاضیدان اروپا در قرن سیزدهم یا حتی قرون وسطی نام می برند. او در ایتالیا به دنیا آمد و در الجزایر بزرگ شد. در سفرهایش به مصر، سیسیل، یونان و سوریه مطالب بسیاری آموخت و پس از مراجعت به وطنش ایتالیا، بزرگترین کتاب خود به نام «کتاب حساب» یا «لیبرآباکی» را منتشر کرد. این کتاب که تاثیر بسیاری بر ریاضیات اروپای غربی داشت، ظاهراْ براساس جبر خوارزمی و ابوکامل نوشته شده است، هر چند که تحقیق مستقلی در حساب و جبر مقدماتی است. دنباله معروف فیبوناتچی در همین کتاب معرفی شده است. او دو کتاب دیگر به نامهای «هندسه عملی» و «کتاب مجذورات» نوشت که این آثار فراتر از تواناییهای اغلب فضلای معاصر وی بودند. البته  گفته شده است که شهرت بسیار فیبوناتچی، به دلیل فقدان معاصرین همتا با وی در اروپا بوده است نه به دلیل ویژگیهای علمی بالای آثار او.
لازم است که بدانیم قرن سیزدهم، شاهد ظهور دانشگاههای پاریس، آکسفورد، کیمبریج، پادوآ و ناپل است که بعضی از آنها به تقلید از دانشگاههای اسلامی بنا شده است.
در قرن چهاردهم که به قرن «مرگ سیاه» معروف است، کار قابل ملاحظه ای در ریاضیات انجام نشد جز نشانه هایی از پیدایش هندسه مختصاتی نوین و نیز مفاهیم اساسی پیوستگی و گسستگی و نیز مفاهیم بی نهایت کوچک و بزرگ.
(د) قرن پانزدهم و شانزدهم:

تاریخ قرن پانزدهم با آغاز رنسانس اروپا، زوال امپراطوری بیزانس به دست مسلمین، انتشار آثار کلاسیک یونان به زبان اصلی، اختراع صنعت چاپ که نشر دانش را با سرعتی بی سابقه میسر کرد و کشف قاره آمریکا که کشتیرانی دور کره زمین و فعالیتهای تجاری را افزونتر کرد، عجین شده است. این وقایع خود به خود بر پیشرفت ریاضیات اثر بسیار نهادند. در این قرن کم کم شاهد ظهور علامات + و -- (جمع و تفریق) و نیز استفاده از علاماتی برای مختصر نویسی ریاضی هستیم

قرن شانزدهم شاهد یکی از کارهای مهم در تاریخ ریاضیات است. در این قرن نمادگرایی در جبر آغاز شد. نماد معروف تساوی در این قرن به کار گرفته شد که علامت یک جفت پاره خط موازی و مساوی است. به قول «رکورد» که اولین بار آنرا به کار برد، هیچ دو شیئ نمی توانند مساوی تر از این باشند. نماد رادیکال نیز در همین قرن ابداع شد. احتمالاْ این نماد به جهت شباهت آن به r و به نشانه radix (ریشه) به کار گرفته شده است. در قرن شانزدهم اعداد منفی نیز مورد توجه قرار گرفتند.

در این قرن، از ریاضیات برای مقاصد اعتقادی نیز استفاده می شد. به عنوان مثال، از ریاضی حتی برای تفسیر آیات انجیل و تورات استفاده کردند.

احتمالاْ جالبترین دستاورد ریاضی قرن شانزدهم، کشف راه حل جبری معادلات درجه ۳ و ۴  توسط چهار ریاضیدان ایتالیایی است که عبارتند از: «فرّو»،«تارتاگلیا»، «کاردانو» (یا کاردان) و «فراری». داستان این کشف و نیز زندگانی این ریاضیدانان، یکی از خواندنی ترین فرازهای تاریخ ریاضیات است که چون هدف ما بیان خلاصه ای از وقایع تاریخ ریاضی است، از شرح آن - البته با اکراه- می گذریم. برای مطالعه آن به صفحات ۲۶۶ تا ۲۷۱ جلد اول تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید

بالاخره باید از بزرگترین ریاضیدان فرانسوی این قرن، «فرانسوا ویت» نام برد که سهم قابل ملاحظه ای در پیشرفت مثلثات دارد. او جبردان برجسته ای نیز بود و روشی برای تقریب ریشه یک معادله ارائه و معادله درجه ۳ را به روشی غیر از روش کاردان-تارتاگلیا حل کرد.نمادهای خاصی را نیز هنگام نوشتن به کار می برد. مثلاْ به جای a به توان 2 و  a به توان 3،  می نوشت: aa و aaa.

البته لازم است بدانیم که در این قرن چند جدول عالی برای محاسبه نسبتهای ششگانه مثلثاتی تالیف شد که بعضی از آنها تا ۱۰ رقم اعشار دقت داشتند و محاسبه آنها ۱۲ سال طول کشید
.



ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

ریاضیات دوره اسلامی

 

آغاز و انجام تمدن اسلامی یکی از عجیب ترین وقایع تاریخ بشر است. مردمی که قرنها در توحشمی زیستند، سواد در میان آنها محلی از اِعراب نداشت، دختران خود را زنده به گور می کردند، بدترین غذاها را می خوردند و دائماْ در حال نزاع قبیله ای بودند، فقط در عرض حدود ۹۰ سال، تمدنی را بر پا کردند که از کرانه های سند در هندوستان تا شمال افریقا و اسپانیا امتداد داشت. تمدنی که فراگرفتن علم و دانش را جهاد در راه خدا می دانست و در کتابخانه های آن هزاران جلد و در بعضی از آنها حدود چهار صد هزار جلد کتاب موجود بود- مانند کتابخانه سلطنتی امیر قرطبه. به قول جواهر لعل نهرو، در بعضی از مناطق این تمدن پهناور، تقریباْ همه سواد خواندن و نوشتن داشتند و بعضی از شهرهای آن بالغ بر یک میلیون نفر جمعیت داشت با تمام امکانات رفاهی لازم. مسلمانان علوم دقیقی همچون ریاضی، فیزیک، شیمی، مهندسی، پزشکی، نجوم و دریانوردی را با علوم معنوی همچون فلسفه، منطق، حکمت و عرفان پیوند داده بودند. چنین تمدنی- اما - به دلیل دور شدن مسلمین از احکام زیبای اسلام، کم کم رو به زوال نهاد و جای خود را به تمدن غرب داد.

تمدن غرب به گواهی صدها سند و مدرک، وجود خود را مدیون تمدن اسلامی است. اما ریاکارانه سعی در پنهان کردن این دین و کم اهمیت جلوه دادن تمدن بزرگ اسلامی داشته و دارد. غربیهاجز اندکی از دانشمندان منصف آن- سعی دارند که چنین جلوه دهند که تنها نقشی که تمدن هفتصد ساله اسلامی دارد، همانا محافظت از علوم یونانی و انتقال آنها به اروپاست که توهینی بس بزرگ به این تمدن شکوهمند و دروغی کاملا آشکار است.

با نگاهی به کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز که در حال حاضر یکی از منابع مهم دانشگاهی کشور در درس تاریخ ریاضی است، می توان بارها و بارها این بی انصافی را مشاهده کرد. به طور مثال وقتی از تمدن اسلامی صحبت می کند با دهها دانشمند عالیمقام آن، تنها حدود ۱۵ صفحه را به آن اختصاص می دهد، اما برای تشریح تاریخ ریاضیات قرون وسطی - یا به قول خودشان قرون تاریکی - تا آخر قرن شانزدهم که مدت آن حدود ۱۰۰۰ سال و کارهای اصیل ریاضی در آن کم است، ۴۷ صفحه از کتاب را پر می کند و حتی گاهی به جزئیات کتابهای ریاضیدانان این عصر می پردازد. به طور مثال رجوع کنید به صفحات ۲۵۵ و ۲۵۶ (جلد اول، ویرایش دوم) که درباره «لیبرآباکی»، کتاب مشهور فیبوناتچی صحبت می کند( کتابی که اساساْ کپی هنرمندانه ای از آثار خوارزمی و ابوکامل به همراه تحقیقات اوست) یا اواخر صفحه ۲۵۹ و اول صفحه ۲۶۰ که درباره کتاب رگیومانتوس صحبت می کند و نیز شکل صفحه ۲۶۵. در این باره حرف بسیار است و درد دل فراوان که انشاءالله در وقت و جای مناسب درباره آن مفصلاْ و به طور کاملاْ مستند صحبت خواهیم کرد. «قضاوت منصفانه را به خواننده واگذار می کنیم

غم اگر به کوه گویم بگریزد و بریزد        که دگر به دین گرانی نتوان کشید باری

حال به خلاصه ای از مطالب کتاب هاورد ایوز درباره ریاضیات دوره اسلامی می پردازیم. البته همان
طور که توضیح داده شد، این مطالب کاملاْ گزینشی و بسیار ناقص است که به لطف خدا درقسمت زندگینامه ریاضیدانان مشهور در حد توان این نقایص را رفع خواهیم کرد. همچنین برای 
اطلاع از وسعت کارهای مسلمین در ریاضیات به این جا و این جا مراجعه کنید.

برتری تمدن اسلامی بر سایر تمدنها حدودا از سال ۷۰۰ میلادی آغاز گردید و حدودا تا سال ۱۵۰۰
میلادی که اسپانیا از تسلط مسلمین خارج شد، ادامه یافت. از همان ابتدا، خلفا به حامیان علم مبدل شدند و دیگران را تشویق کردند که آثار هندی و یونانی را در نجوم، طب و ریاضیات به زبان عربی برگردانند. در نتیجه بسیاری از علوم یونانی و هندی بدین طریق سالم ماند و در قرون وسطی از میان نرفت. به طور خلاصه به شرح بعضی از کارهای مسلمین در ریاضیات می پردازیم:

  1. ترجمه المجسطی (اثر بطلمیوس) و اصول اقلیدس از یونانی به عربی
  2. تالیف کتاب الجبر و المقابله - که کلمه Algebra از همین کتاب اقتباس شده است - و کتابی درباره ارقام هندی - که بوسیله آن کلمه «آلگوریتم»، لاتینی شده کلمه «الخوارزمی»، به ریاضیات اضافه شد - توسط «محمد بن موسی خوارزمی». این دو کتاب تاثیر بسیار زیادی در پیشرفت ریاضیات اروپا داشتند.
  3. کارهای «ثابت بن قُره» در ترجمه بسیار خوب آثار یونانی و نیز کارهای او در جبر مقدماتی، مربعهای جادویی و یافتن اعداد متحابه که ظاهراْ از اولین کارهای اصیل ریاضیات توسط 
    مسلمین است. او قضیه فیثاغورث را به روش زیبایی تعمیم داده است.(مراجعه کنید به صفحه ۲۴۳ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز
  4. معرفی تابع تانژانت به وسیله «ابوالوفای بوزجانی». او جدول بزرگی از سینوس و تانژانت 
    زوایا را برای محاسبات مثلثاتی به دست آورد.
  5. تالیف کتابی به نام «فخری» از «کرخی» یا «کرجی» که یکی از فاضلانه ترین کارهای 
    مسلمین در جبر است. همچنین کرخی قضایایی ارائه کرد که مجموع مربعات و مکعبات 
    اولین n عدد طبیعی را محاسبه می کرد.
  6. حل هندسی معادله درجه سوم توسط «عمر خیام» که یکی از عمیقترین و بدیعترین آثار 
    جبری مسلمین است.
  7. تولد هندسه نا اقلیدسی با کارهای «خواجه نصیرالدین طوسی». مباحث او در این زمینه، 
    حدوداْ ۴۵۰ سال بعد در قرن هفدهم میلادی در دانشگاه آکسفورد برای تدریس هندسه 
    مورد استفاده قرار گرفت. برهان اصیلی نیز برای قضیه فیثاغورث به خواجه نصیر منسوب است.(مراجعه کنید به صفحه ۲۳۲ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز)
  8. تقریب عدد پی تا ۱۶ رقم توسط «غیاث الدین جمشید کاشانی» که تا ۲۰۰ سال بعد از 
    او کسی به دقت او در محاسبه عدد پی به روش کلاسیک نرسید. همچنین او کارهای 
    جالبی درباره ارتباط بین قضیه دو جمله ای نیوتن و مثلث خیام-پاسکال انجام داده است.
  9. مسلمین کارهای زیادی برای حل معادلات سیاله انجام دادند. به عنوان مثال برهانی بر 
    این قضیه ارائه کردند که مجموع مکعبات دو عدد طبیعی برابر مکعب هیچ عدد طبیعی 
    نمی شود. این قضیه حالت خاصی از «آخرین قضیه فرما» است.
  10. بسیاری از نامها و واژه های کنونی را می توان در دوره مسلمین یافت. به طور مثال بد نیست بدانید که کلمه «سینوس» ترجمه لاتینی کلمه عربی «جَیب»، به معنای خلیج کوچک است.


ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

ریاضیات چین و هند

 

مختصری از تاریخ ریاضیات چین از حدود ۱۰۰۰ قبل از میلاد تا قرن ۱۴ بعد از میلاد

-  
چینیان باستان با حساب دهدهی آشنایی داشتند و از آن در محاسبات علمی و روزمره استفاده می کردند.

-
ابداع مربعهای جادویی

-
آنها با قضیه فیثاغورث -بدون برهان - آشنایی کامل داشتند.

-
آنها «قضیه چینی» که قضیه مشهوری در جبر و درباره حل معادلات همنهشتی خطی است، به جهان ریاضیات تقدیم کردند.

-
در بعضی از آثار آنها، محاسبه درست «عدد پی» تا ۶ رقم اعشار دیده می شود.

-
احتمالاْ مثلث حسابی معروف «خیام-پاسکال»، اولین بار به وسیله چینیان ارائه شده است
.

 

مختصری از تاریخ ریاضیات هندی از حدود ۴۵۰ میلادی تا قرن ۱۴ بعد از میلاد:

-
معرفی عمل ضرب به شیوه کنونی

-
به دست آوردن مجموع تصاعد های حسابی و هندسی

-
آشنایی با اعداد منفی و گنگ

-
حل کامل معادلات درجه ۲

-
یافتن همه جوابهای بعضی از معادلات سیاله

-
به دست آوردن فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث و تعمیم آن به یک چهار ضلعی محاطی- رجوع شود به صفحه ۲۲۵ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز

-
ساختن جداولی برای سینوسها

- سه ریاضیدان معروف قدیم هند «برهمگوپته»، «مهاویره» و «بهاسکره» هستند که به ترتیب در قرون هفتم، نهم و دوازدهم میلادی می زیستند. ریاضیدان معروف قرون جدید هند، نابغه هندی
«
رامانوجان» است که در نظریه اعداد کارهای بزرگی انجام داد و حدوداْ ۳۳ سال بیشتر عمر نکرد.

-
سخن ابوریحان بیرونی :«ریاضیات هندی مخلوطی از صدف و خزف یا ممزوجی از درّ پر بها و 
سنگریزه بی بها است» (این جمله به خوبی نشان دهنده تسلط ریاضیدانان مسلمان است بر ریاضیات زمان خود که می توانستند ریاضیات عالی را از مقدماتی تمییز و درباره آن اظهار نظر کنند
.(



ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

ریاضیات یونان باستان

 

با شروع هزاره اول میلادی و با افول تمدن بزرگ مصر و بابل، کم کم تمدنهای جدیدی مانند تمدن یونانی، فنیقی و آسوری پا به عرصه وجود گذاشتند. با تکامل ذهنی بشر، انسان با کلمه «چرا»
مانوس تر شد.
-
چرا زوایای متقابل به راس با هم برابرند؟
-
چرا در مثلث متساوی الساقین دو زاویه روبه رو به دو ساق برابرند؟
- ...
؟
به این ترتیب، ریاضیات برهانی متولد شد و یونانیان در این امر پیشتاز بوده اند. در این قسمت به طور بسیار خلاصه، به نام و کارهای ریاضیدانان یونانی به ترتیب زمانی خواهیم پرداخت.

    1. تالس یکی از ریاضیدانانی است که برای اولین بار به وسیله استدلال منطقی و بدون  استفاده
      از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. (مراجعه کنید به صفحه 60 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد و. ایوز ترجمه ی دکتر محمد قاسم وحیدی اصل - فصل ریاضیات فیثاغورسی)
    2. فیثاغورث (یا به عبارت درست تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند) نیز سهم
      بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه ای از کارهای فیثاغورسیان را مرور
      می کنیم:

      (
      الفاین گروه اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد متحابه، تام، ناقص و زاید (مراجعه کنید به صفحه ۷۰ و ۷۱  جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز ) و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه کنید به صفحه ۷۲ تا ۷۴ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

      (
      باولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از آن استفاده می کردند.

      (
      جکشف عدد گنگ رادیکال 2  که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است.

      (
      دابداع جبر هندسی برای بیان اتحادهای جبری در قالب اصطلاحات هندسی. 
      (
      هحل هندسی معادلات درجه دوم. برای مثال با فرض اینکه a و b دو عدد مثبت باشند،
      طول x را چنان به دست می آوریم که x جواب معادله ی    باشد. این کار را در
      شکل زیر انجام داده ایم. (با این کار می توان برای هر عدد طبیعی n،  را رسم کرد.
      کافی است دایره ای به قطر n+1 رسم کنیم.(


 (ومعرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی

را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی های منتظم مساوی باشند و کنجهای آن نیز همگی
برابر.)

(
زبسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهای دقیق از
چند فرض آغازین که کاملاْ مشخص هستند.

    1. افلاطون و شاگردان او: تقریباْ تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم قبل از میلاد به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده است و آنها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون درباره ریاضییات این بود که این علم عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود: «هر کس هندسه نمی داند وارد نشود

      کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:

      (
      الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولا شامل دایره، سهمی، هذلولوی و بیضی میشود.) 

      (
      ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط کش و پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است.)

      (
      ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوی-فقط با خط کش و پرگار)

      (
      د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که دارای مساحتی برابر با مساحت دایره مفروضی باشد -فقط با خط کش و پرگار)

      توضیح: توجه کنید که می توان ثابت کرد هیچکدام از کارهای بالا -یعنی تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان فقط به وسیله خط کش و پرگار انجام داد که داستان مفصل و جالبی برای خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه  ۱۱۶ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز،می توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل ۳۸ مدخل است از کارهای یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید درباره این عدد.)
    2. اقلیدس: او استاد ریاضیات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاْ در آتن یونان درس خوانده است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالنهای سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداْ ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و حدود هزار سال پابرجا ماند.

      -
      اقلیدس حدود ۱۰ کتاب تالیف کرده است که مهمترین اثر او کتاب اصول اوست که شاید یکی از
      مهم ترین کتاب های تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به وسیله مسلمین به
      دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین ترجمه کردند
      این کتاب شامل ۱۳ مقاله و حاوی ۴۶۵ قضیه درباره هندسه مسطحه، هندسه فضایی، نظریه
      اعداد و جبر مقدماتی هندسی است.
      قضایای معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (برای تشخیص متباین بودن دو عدد)، قضیه اصلی
      حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
      -
      احتمالاْ این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه کارهای خود
      اقلیدس است و شاید قصد او از تالیف این کتاب این بوده است که یک کتاب درسی مقدماتی
      در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتابهای درسی تالیف کرده
      است.
      -
      به نظر می رسد که مهمترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده است تمام ۴۶۵ قضیه را  فقط بر اساس ۱۰ اصل موضوع اثبات کند.(مراجعه کنید به صفحه ۱۵۰ جلد اول کتاب تاریخ
      ریاضیات هاوارد د. ایوز
    3. ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس»  را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.

      -
      حدوداْ در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه
      اسکندریه گذراند.

      -
      درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس)
      در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و نیز تمرکز ذهنی بسیار قوی بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر می شد- و همین بی خبری بالاخره باعث مرگ او شد.

      -
      ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدی، دو مقاله
      درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه)  درباره ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک 
      رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می دهد
      این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد.

      -
      مقاله های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله های
      امروزی شباهت دارند.

      -
      او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد.
      او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعیهای
      محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می رسیم.

      -
      ارشمیدس - به ادعای ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث
      برحسب سه ضلع آن است.

      -
      او در رساله ای درباره مقدار تقریبی دانه های شنی که کره ای به مرکز زمین و به شعاع
      زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.

      -
      در رساله دیگری سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به
      وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهای این معادله عددی است با بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!
    4. آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهای یونانی
      بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکلهای هندسی داده شده است.
    5. دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند.
    6. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه 
      یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم
      .


ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

ریاضیات مصری و بابلی

با پیشرفته تر شدن جامعه بشری، انسان به ریاضیات عملی برای کارهای کشاورزی، مهندسی،علوم مالی و بازرگانی، محاسبات مربوط به زمان و تقویم، سنجش اوزان و مقادیر و ... نیازمند شد.
کم کم با تقویت ذهن بشر، انسان به تجرید گرایش پیدا کرد و ریاضیات را برای ریاضیات مورد مطالعه قرار داد و در نتیجه، تمدنهایی همچون بابل، مصر، چین و هند ایجاد شد. حال به بررسی مختصر تاریخ ریاضی بابل و مصر باستان می پردازیم به دودلیل: یکی اینکه این دو از پیشرفته ترین تمدنهای باستانی هستند و دیگر اینکه سندهای معتبری از ریاضیات تمدنهای مهم دیگر مانند چین و هند باستان در دست نیست. (البته در قسمتهای بعدی، مختصرا به  این دو تمدن نیز خواهیم پرداخت.)

ریاضیات بابلی:

  • بررسی لوحهای پخته، نشان از مهارت بسیار بابلیها در محاسبه دارد.  بسیاری از محاسبات عددی که برای انواع و اقسام قراردادهای رسمی و غیر رسمی مانند صورت حساب، رهن، قباله و ضمانت لازم بود، به کمک جداول انجام می شد، مانند جداول ضرب ، جداول معکوس اعداد، جداول مربعات و مکعبات و جداول توانها. این محاسبات بر حسب دستگاه موضعی شصتگانی بوده اند.
  • احتمالاْ بابلیها با با قواعد کلی محاسبه مساحتهای اشکال دو بعدی - مانند مستطیل، مثلث و ذوزنقه- و سه بعدی - مانند مکعب مستطیل- و حتی محاسبه مساحت دایره آشنا بوده اند و عدد پی را سه یا سه و یک هشتم در نظر می گرفته اند.
  • تقسیم محیط دایره به ۳۶۰ قسمت را مدیون بابلیها هستیم.
  • آنها احتمالا با قضیه فیثاغورس نیز آشنا بوده اند. در تجزیه و تحلیل لوح معروفی به نام پلیمپتن(Polimpton) مشخص شده است که آنها با سه تاییهای فیثاغورسی و جداول مثلثاتی به طور حیرت آوری آشنا بوده اند.
  • ظاهرا روش حل بعضی از معادلات درجه ۲، ۳ و حتی درجه ۴ را نیز می دانسته اند.
  • توجه کنید که ریاضیات ایران باستان را نیز می توان جزئی از ریاضیات بابلی دانست.

ریاضیات مصر باستان:

  •  آنگونه که از بررسی پاپیروسهای به جا مانده از مصریان قدیم می توان گفت این است که
    سطح ریاضی مصریان قدیم، هرگز به ریاضیات بابلی نرسید. بیشتر مسائل ریاضی باقیمانده از مصریان باستان، عددی و بسیار ساده هستند. اما از بعضی لحاظ، ریاضیات مصری را نمی توان نادیده گرفت. به طور مثال، مصریان از اعداد بزرگ مانند صدهزار و یک میلیون استفاده می کرده اند و دقت محاسبه ای که در ساختن اهرام مصر به کار رفته، واقعا حیرت آور است.
  • مصریان، ضرب و تقسیم اعداد را به گونه ای جالب انجام می دادند به طویکه نیازی به حفظ کردن جدول ضرب نبود.
  • مصریان سعی می کردند کسرها را به صورت مجموعی از کسرها با صورت یک بنویسند و
    به این وسیله مجموع کسرها را راحت تر به دست می آوردند.
  • احتمالاْ از تصاعدهای حسابی و هندسی نیز استفاده می کرده اند.
  • در جبر مصری تا حدی نماد گرایی نیز وجود داشت و نمادهایی برای جمع و تفاضل داشتند.
  • ظاهراْ قاعده محاسبه مساحت مثلث را می دانستند و با بعضی از نسبتهای مثلثاتی (مانند کتانژانت) آشنا بوده اند.
  • عدد پی را حدودا 3.16 حساب می کردند.
  • ظاهراْ از قضیه فیثاغورس هیچ اطلاعی نداشتند، اما زاویه قائمه را با ساختن مثلثی به اضلاع ۳، ۴ و ۵ می ساختند.
  • بعضی از مسائل (همچون محاسبه درست هرم ناقص مربع القاعده) در پاپیروسهای مصری موجود است که نظیر آن در هیچ جای دیگری از شرق باستان، یافت نشده است.



ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

عدد و شمارش

 

دقیقا مشخص نیست که انسان پیش از  تاریخ، چه زمانی از مفاهیمی همچون عدد و شمارش 
استفاده کرده است؛ اما لزوماْ به مفاهیمی مانند کم و زیاد، تعداد افراد قبیله، میزان وسایل 
زندگی خود و دیگران، تعداد دوست و دشمن و چیزهایی از این قبیل نیاز داشت. آنگونه که از گزارش 
های باستان شناسان بر می آید، معمولا از روش تناظر یک به یک استفاده میکرد (رجوع کنید به 
شکل های صفحه
۸ و ۹ و پاورقی صفحه ۹ از کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). با پیشرفت بشر و
نیاز به شمارش های وسیع تر، انگشتان به عنوان پایه و مبنای شمارش، انتخاب و به هر انگشت، 
نمادی منسوب شد و اعداد بزرگ تر به صورت ترکیبی ار این نمادها نوشته شدند. به طور مثال 
دوازده یعنی دو از ده و
twelve که که احتمالاْ از twe lif (دو روی ده) گرفته شده است. البته اعداد
۲، ۳، ۴، ۵، ۱۲، ۲۰ و ۶۰
نیز قرنها در میان قبایل و اقوام مختلف به عنوان مقیاس به کار رفته است.


چند مثال برای اعداد رومی در پایه
۱۰ :

علائم اصلی برای نوشتن اعداد رومی:

اعداد اصلی

۱

۲

۳

۱۰

۱۰۰

۱۰۰۰

۵

۵۰

۵۰۰

علائم اصلی

I

II

III

X

C

M

V

L

D

برای نوشتن اعداد، رومیها از قانونی به نام اصل تفریق استفاده میکردند، بدین ترتیب که وقتی
علامتی برای واحد کوچکتر قبل از علامت به کار رفته برای واحد بزرگتر قرار می گرفت، به معنی 
تفاضل این دو واحد بود. به چند مثال در جدول زیر توجه فرمایید:

عدد

علامت رومی

۴

IV

9

IX

200

CC

1944

MCMXLIV


دستگاه شمارش رمزی یا الفبایی یونانی:

در این دستگاه، از ۲۷ رمز برای نوشتن اعداد استفاده می شد. به دو جدول زیر که این رمزها را در قالب علائم اصلی توضیح می دهد، توجه فرمایید:



حال چند مثال : 

دستگاه شمارش موضعی:


در این دستگاه، ابتدا یک پایه b انتخاب و سپس نمادهایی برای ۰، ۱، ۲،...، b-۱  معین میشود. هر عدد طبیعی n را می توان به طور یکتا به صورت زیر نوشت:

در این صورت n را با  نمایش می دهیم که.

اگر b=۱۰، این دستگاه را "دستگاه شمار هندی- عربی" گوییم. این دستگاه به هندیان که احتمالاْ مخترع آن هستند و به مسلمانان که آنرا تکمیل کردند و به دیگران آموختند، منسوب است.

ظاهراْ بابلیهای قدیم، در فاصله های بین ۳۰۰۰ و ۲۰۰۰ قبل از میلاد، دارای یک دستگاه  شمار در پایه ۶۰ بودند. البته این دستگاه برای صفر علامتی نداشت. بد نیست بدانیم که قوم مایاها در آمریکا از دستگاهی استفاده می کردند که اساساْ در مبنای ۲۰ بود و علامتی برای صفر هم داشتند.


جمع و ضرب اعداد:

روشهای جمع و ضرب کنونی، قدمت زیادی ندارند و در قرن پانزدهم میلادی ابداع شدند. اما ظاهرا علت پیدایش دیررس این روشها، ممکن است به دو علت مشکلات ذهنی ( به خاطر نقص در دستگاههای شمارش با نمادهای بسیار) و نیز مشکلات مادی (مانند نبودن کاغذ) باشد. بشر تا حدی با اختراع چرتکه این مشکل را حل کرد. اما روشهای کنونی،مدیون اختراع هندیان و نیز تکامل آن به وسیله مسلمین است به ویژه خوارزمی که نقش برجسته ای در این کار دارد. نماد صفر را هندیان وارد دستگاه شمارش کردند و لازم است ذکر شود که zero ی انگلیسی احتمالاْ از زفیروم (به کسر زا ء) لاتین و آن از صفر عربی و آن از سونیای هندی به معنی پوچ یا تهی گرفته شده است. نیز واژه کنونی cipher انگلیسی، همان صیفرای عربی است.



ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب


محسن هشترودی

 

زندگینامه 

محسن هشترودی در ۲۲ دی ۱۲۸۶ در شهر هشترود چشم به جهان گشود. پدرش شیخ اسماعیل مجتهد از مشاوران شیخ محمد خیابانی یکی از فعالاننهضت مشروطه بود. محسن هشترودی تحصیلات دبستانی خود را در شهر تبریز به پایان برد و سپس برای ادامه تحصیل در دارالفنونبه تهران آمد. چند سالی در تهران به تحصیل پزشکی گذراند، تا در سال ۱۳۰۴ به عنوان دانشجوی بورسیه دولتی برای تحصیل در رشته ریاضیات به کشور فرانسه اعزام شد.

محسن هشترودی در سال ۱۳۱۴ با درجه کارشناسی در رشته ریاضیات از دانشگاه سوربون فارغ‌التحصیل شد. سپس با سرپرستی پروفسور الی کارتان در همان دانشگاه به پژوهش در زمینه هندسه دیفرانسیل پرداخت و مدرک دکترای خود را در رشته ریاضیات در سال۱۳۱۶ دریافت کرد.

محسن هشترودی پس از بازگشت به ایران به عنوان استادیار در دانشکده علوم دانشسرای عالی به کار مشغول شد. در سال ۱۳۲۰کرسی استادی دانشسرای عالی را دریافت کرد. در سال ۱۳۳۰ به مقام ریاست دانشگاه تبریز رسید، و در سال ۱۳۳۶ به عنوان رئیس دانشکده علوم دانشگاه تهران انتخاب شد.

پروفسور هشترودی در طول زندگی حرفه‌ای خود ارتباطش با مجامع علمی بین‌المللی حفظ کرد: وی در سال ۱۳۲۹ به عنوان نمایندهدانشگاه تهران در کنگره بین‌المللی ریاضی‌دانان هاروارد شرکت کرد، در موسسه مطالعات پيشرفته دانشگاه پرينستون و به درخواست رياست موسسه پرفسور اوپنهايمر به عضویت پذیرفته شد، و یک ترم پاییزی را نیز به تدريس در دانشگاه هاروارد پرداخت.

کوشش‌های فرهنگی

پروفسور هشترودی مهارت زیادی در بیان اصول و پدیده‌های علمی و فناوری‌های جدید به زبان ساده داشت، و با نوشته‌ها و سخنرانی‌های خود می‌توانست با قشر بزرگی از جامعه ارتباط برقرار کند و مفاهیم اصلی دانش و فناوری را به آنان منتقل نماید. به فلسفه، شعر و موسیقی علاقه زیادی داشت و خود اشعاری سروده است.

پروفسور هشترودی از پیشروان تفکر انتقادی در ایران بود. او تاکید زیادی بر اهمیت علوم پایه داشت تا جایی که شاخه‌های دیگر دانش مانند علوم اجتماعی و علوم انسانی را بی‌اهمیت و غیرعلمی می‌خواند. در همین حال فلسفه، هنر و عرفان را مکمل علم می‌دانست. وی اعتقاد داشت که «علم» تنها نوع ارزشمند دانش، «هنر» نگاهی ظریف به زندگی، و «فلسفه» غایت معرفت‌شناسی است، و هیچ یک بدون نوآوری و اصالت ارزشی ندارند.

پژوهش‌های علمی

تخصص پروفسور هشترودی در زمینه هندسه دیفرانسیل بود. مهمترین اثر علمی نگاشته شده توسط محسن هشترودی، پایان‌نامه دکترای او در زمینه هندسه دیفرانسیل است، که در آن یکی از مدل‌های ریاضی استادش (الی کارتان) را تعمیم داد که امروزه به نام «التصاق هشترودی» (Hachtroudi Connection) شناخته می‌شود او در طول زندگی حرفه‌ای در ایران چند مقاله کوتاه علمی نیز منتشر کرد. جدای از پژوهش علمی، پروفسور هشترودی به عنوان یک متفکر منتقد و ریاضیدان نامدار ایرانی، دارای اهمیت نمادین و شخصیتی اثرگذار در جامعه علمی معاصر ایران بوده است.



ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

مهندسان هخامنشي راز استفاده از عدد پي  را دو هزار و 500 سال پيش كشف كرده بودند. آنها در ساخت سازه هاي سنگي و ستون هاي مجموعه تخت جمشيد كه داراي اشكال مخروطي است، از اين عدد استفاده مي كردند.

عدد پي( ۳.۱۴)در علم رياضيات از مجموعه اعداد گنگ محسوب مي شود. اين عدد از تقسيم محيط دايره بر قطر آن به دست مي آيد. كشف عدد پي جزو مهمترين كشفيات در رياضيات است. كارشناسان رياضي هنوز نتوانسته اند زمان مشخصي براي شروع استفاده از اين عدد پيش بيني كنند. عده زيادي، مصريان و برخي ديگر، يونانيان باستان را كاشفان اين عدد مي دانستند اما بررسي هاي جديد نشان مي دهد هخامنشيان هم با اين عدد آشنا بودند.

«عبدالعظيم شاه كرمي» متخصص سازه و ژئوفيزيك و مسئول بررسي هاي مهندسي در مجموعه تخت جمشيد در اين باره،‌ گفت: «بررسي هاي كارشناسي كه روي سازه هاي تخت جمشيد به ويژه روي ستون هاي تخت جمشيد و اشكال مخروطي انجام گرفته؛ نشان مي دهد كه هخامنشيان دو هزار و 500 سال پيش از دانشمندان رياضي دان استفاده مي كردند كه به خوبي با رياضيات محض و مهندسي آشنا بودند. آنان براي ساخت حجم هاي مخروطي راز عدد پي را شناسايي كرده بودند

دقت و ظرافت در ساخت ستون هاي دايره اي تخت جمشيد نشان مي دهد كه مهندسان اين سازه عدد پي را تا چندين رقم اعشار محاسبه كرده بودند. شاه كرمي در اين باره گفت: «مهندسان هخامنشي ابتدا مقاطع دايره اي را به چندين بخش مساوي تقسيم مي كردند. سپس در داخل هر قسمت تقسيم شده، هلالي معكوس را رسم مي كردند. اين كار آنها را قادر مي ساخت كه مقاطع بسيار دقيق ستون هاي دايره اي را به دست بياورند. محاسبات اخير، مهندسان سازه تخت جمشيد را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها،‌ فشاري كه بايد ستون ها تحمل كنند و توزيع تنش در مقاطع ستون ها ياري مي كرد. اين مهندسان براي به دست آوردن مقاطع دقيق ستون ها مجبور بودند عدد پي را تا چند رقم اعشار محاسبه كنند

هم اكنون دانشمندان در بزرگ ترين مراكز علمي و مهندسي جهان چون «ناسا» براي ساخت فضاپيماها و استفاده از اشكال مخروطي توانسته اند عدد پي را تا چند صد رقم اعشار حساب كنند. بر اساس متون تاريخ و رياضيات نخستين كسي كه توانست به طور دقيق عدد پي را محاسبه كند، «غياث الدين محمد كاشاني» بود. اين دانشمند ايراني عدد پي را تا چند رقم اعشاري محاسبه كرد. پس از او دانشمنداني چون پاسكال به محاسبه دقيق تر اين عدد پرداختند. هم اكنون دانشمندان با استفاده از رايانه هاي بسيار پيشرفته به محاسبه اين عدد مي پردازند.

شاه كرمي با اشاره به اين موضوع كه در بخش هاي مختلف سازه تخت جمشيد، مقاطع مخروطي شامل دايره، بيضي، و سهمي ديده مي شود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محيط و ساخت سازه هايي با اين اشكال هندسي بدون شناسايي راز عدد پي و طرز استفاده از آن غيرممكن است

داريوش هخامنشي بنيان گذار تخت جمشيد در سال 521 پيش از ميلاد دستور ساخت تخت جمشيد را مي دهد و تا سال 486 بسياري از بناهاي تخت جمشيد را طرح ريزي يا بنيان گذاري مي كند. اين مجموعه باستاني شامل حصارها، كاخ ها،‌ بخش هاي خدماتي و مسكوني، نظام هاي مختلف آبرساني و بخش هاي مختلف ديگري است.

مجموعه تخت جمشيد مهمترين پايتخت مقاومت هخامنشي در استان فارس و در نزديكي شهر شيراز جاي گرفته است

 



ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب
ارسال در تاريخ شنبه 16 اردیبهشت1391 توسط محمدرضا مرتهب

اسلایدر

دانلود فیلم